小学生・中学生の勉強

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【通分と約分】やり方と問題

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分数の計算をするときに使う、通分と約分
今回は、通分と約分のやり方問題のとき方について書いていきたいと思います。



通分とは?

分母の数が違っている分数どうしはそのままでは足し算や引き算ができません。
このようなとき、計算しやすいように分母の数をそろえることを通分すると言います。
そのままでは計算できない分数の足し算や引き算も、分母の数をそろえることで計算ができるようになります。

通分のやり方

(例題①){\displaystyle\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{3}{4}}を通分しましょう。

{\displaystyle\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{3}{4}}の分母はそれぞれ3と4。

このままでは分母の数がバラバラですが、通分するときには分母の数をそろえます。
そのときに使うのは最小公倍数。
3と4の最小公倍数(3と4に共通する倍数のうちで一番小さいもの)である12を分母にします。

{\displaystyle\frac{1}{3}}の分母を12にするときには、分母に4をかけたので同じ数を分子にもかけます。

{\displaystyle\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1×4}{3×4}}{\displaystyle\frac{4}{12}}

{\displaystyle\frac{3}{4}}の分母を12にするときには、分母に3をかけるので同じ数を分子にもかけます。

{\displaystyle\frac{3}{4}}{\displaystyle\frac{3×3}{4×3}}{\displaystyle\frac{9}{12}}


答え {\displaystyle\frac{4}{12}}{\displaystyle\frac{9}{12}}


(例題②){\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{2}{3}}{\displaystyle\frac{5}{6}}を通分しましょう。

3つの分数になっても通分のやり方は同じ。
分母を共通する最小公倍数にし、そのとき分母にかけた数を分子にも同じようにかけます。
この場合は分母が2,3,6なので、最小公倍数は6。

{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1×3}{2×3}}{\displaystyle\frac{3}{6}}

{\displaystyle\frac{2}{3}}{\displaystyle\frac{2×2}{3×2}}{\displaystyle\frac{4}{6}}

{\displaystyle\frac{5}{6}}は、もともと分母が最小公倍数である6なのでそのまま。


答え {\displaystyle\frac{3}{6}}{\displaystyle\frac{4}{6}}{\displaystyle\frac{5}{6}}



約分とは?

分数の分母と分子を同じ数で割ることができるときには、最大公約数で割って分母の数が小さな分数にします。
このことを約分すると言います。
分数の足し算や引き算、かけ算や割り算などの計算をしたあとは、ふつうは約分できるところまで約分してから答えを書きます。

約分のやり方

(例題①){\displaystyle\frac{3}{18}}を約分しましょう。

{\displaystyle\frac{3}{18}}の分母・分子の最大公約数は3。

分母と分子を最大公約数の3で割ると

{\displaystyle\frac{3}{18}}{\displaystyle\frac{3÷3}{18÷3}}{\displaystyle\frac{1}{6}}


答え {\displaystyle\frac{1}{6}}


(例題②){\displaystyle\frac{25}{125}}を約分しましょう。

{\displaystyle\frac{25}{125}}は分子・分母の最大公約数である25で、分母・分子ともに割ることが出来ます。

よって{\displaystyle\frac{25}{125}}{\displaystyle\frac{25÷25}{125÷25}}{\displaystyle\frac{1}{5}}


答え {\displaystyle\frac{1}{5}}




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通分と約分の問題

通分と約分のやり方がわかったところで問題を解いていきたいと思います。

問題①

次の分数を通分しましょう。

(1){\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{2}{7}}

{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{2}{7}}の分母の数は5と7。

5と7の最小公倍数は35なので、分母が35になるよう、それぞれの分子と分母に同じ数をかけます。

{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{3×7}{5×7}}{\displaystyle\frac{21}{35}}

{\displaystyle\frac{2}{7}}{\displaystyle\frac{2×5}{7×5}}{\displaystyle\frac{10}{35}}


答え {\displaystyle\frac{21}{35}}{\displaystyle\frac{10}{35}}



次の分数を通分しましょう。

(2){\displaystyle\frac{3}{4}}{\displaystyle\frac{2}{9}}{\displaystyle\frac{7}{12}}

{\displaystyle\frac{3}{4}}{\displaystyle\frac{2}{9}}{\displaystyle\frac{7}{12}}の分母の数は4,9,12。

4,9,12の最小公倍数は36なので、分母が36になるよう、それぞれの分子と分母に同じ数をかけます。

{\displaystyle\frac{3}{4}}{\displaystyle\frac{3×9}{4×9}}{\displaystyle\frac{27}{36}}

{\displaystyle\frac{2}{9}}{\displaystyle\frac{2×4}{9×4}}{\displaystyle\frac{8}{36}}

{\displaystyle\frac{7}{12}}{\displaystyle\frac{7×3}{12×3}}{\displaystyle\frac{21}{36}}


答え {\displaystyle\frac{27}{36}}{\displaystyle\frac{8}{36}}{\displaystyle\frac{21}{36}}



次の分数の大小を不等号で表しましょう。

(3){\displaystyle\frac{7}{5}}{\displaystyle\frac{5}{6}}{\displaystyle\frac{9}{10}}

分数の大きさを比べるときには、分母が同じになるように通分をしてから比べます。
この3つの分数の分母の数は5,6,10なので、最小公倍数である30に分母をそろえます。

{\displaystyle\frac{7}{5}}{\displaystyle\frac{7×6}{5×6}}{\displaystyle\frac{42}{30}}

{\displaystyle\frac{5}{6}}{\displaystyle\frac{5×5}{6×5}}{\displaystyle\frac{25}{30}}

{\displaystyle\frac{9}{10}}{\displaystyle\frac{9×3}{10×3}}{\displaystyle\frac{27}{30}}

よって
{\displaystyle\frac{5}{6}}{\displaystyle\frac{9}{10}}{\displaystyle\frac{7}{5}}となります。


答え {\displaystyle\frac{5}{6}}{\displaystyle\frac{9}{10}}{\displaystyle\frac{7}{5}}


問題②

次の分数を約分しましょう。

(1){\displaystyle\frac{6}{16}} (2){\displaystyle\frac{36}{48}} (3){\displaystyle\frac{30}{75}}


(1)約分するときには、分母と分子の最大公約数で分母と分子を割ります。

{\displaystyle\frac{6}{16}}の最大公約数は2なので

{\displaystyle\frac{6}{16}}{\displaystyle\frac{6÷2}{16÷2}}{\displaystyle\frac{3}{8}}


答え {\displaystyle\frac{3}{8}}



(2){\displaystyle\frac{36}{48}}の分子・分母の最大公約数は12。

最大公約数の12で分子・分母を割ると

{\displaystyle\frac{36}{48}}{\displaystyle\frac{36÷12}{48÷12}}{\displaystyle\frac{3}{4}}


答え {\displaystyle\frac{3}{4}}



(3){\displaystyle\frac{30}{75}}の分子・分母の最大公約数は15。

最大公約数の15で分子・分母を割ると

{\displaystyle\frac{30}{75}}{\displaystyle\frac{30÷15}{75÷15}}{\displaystyle\frac{2}{5}}


答え {\displaystyle\frac{2}{5}}



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