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平行四辺形になる条件

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今回は中2数学で学ぶ、平行四辺形になる条件について勉強したいと思います。

 

 

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平行四辺形になる条件

四角形において次の5つの条件のうちのどれかが成り立つとき、その四角形は平行四辺形となります。

①2組の対辺がそれぞれ平行である。

②2組の対辺がそれぞれ等しい。

③2組の対角がそれぞれ等しい。

④対角線がそれぞれの中点で交わる。

⑤1組の対辺が平行で等しい。 

 

2組の対辺がそれぞれ平行である

 

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 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行であるとき、その四角形は平行四辺形となります。
 

 

2組の対辺がそれぞれ等しい

 

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2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ同じ長さであるとき、その四角形は平行四辺形となります。 

 

 

2組の対角がそれぞれ等しい

 

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2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しいとき、その四角形は平行四辺形となります。

 

 

対角線がそれぞれの中点で交わる

 

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2本の対角線がそれぞれの中点で交わるとき、その四角形は平行四辺形となります。

 

 

1組の対辺が平行で等しい

 

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1組の向かい合う辺が平行で長さが等しいとき、その四角形は平行四辺形となります。 

 

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平行四辺形であることの証明問題

では実際に、平行四辺形であることを証明する証明問題に挑戦してみましょう。 

 

問題①

下の図の平行四辺形ABCDにおいて、ABの中点をM、DCの中点をNとするとき、四角形MBNDは平行四辺形であることを証明しなさい。

 

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問題文の中に書かれていることからわかることを図の中に書きこみます。

そのうえで平行四辺形になる5つの条件のうち、どの条件が当てはまるかを考えます。

 

〈解答〉

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平行四辺形の対辺の長さは等しいので、AB=DC……①

MとNは、ABとDCのそれぞれ中点なので、①よりMB=DN……②

ABとDCは平行四辺形の対辺なので平行。

よって、MBとDNも平行。……③

②、③より、1組の対辺が平行でその長さが等しいことから

四角形MBNDは平行四辺形である。(証明終)

 

問題②

下の図において点MはBCの中点であり、四角形ABMDは平行四辺形である。

このとき、四角形AMCDは平行四辺形であることを証明しなさい。

 

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問題文からわかることを図の中に書きこむと次のようになります。

 

〈解答〉

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四角形ABMDは平行四辺形なので、ADとBMは平行で、AD=BM……①

点MはBCの中点であることから、BM=MC……②

①と②より、AD=MC……③

MはBCの中点なので、MCはBMの延長線上にある。

よってADとBMが平行であることから、ADとMCも平行……④

③と④より、 1組の対辺が平行で等しいので

四角形AMCDは平行四辺形である。(証明終)

 

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