小学生・中学生の勉強

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直角三角形の合同条件

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今回は中2数学で学ぶ、直角三角形の合同条件について勉強したいと思います。

 

 

直角三角形とは?

三角形の3つの内角のうち、1つの内角が直角(90°)である三角形のことを直角三角形といいます。 

また直角三角形において、直角に対する辺のことを斜辺(しゃへん)とよびます。

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直角三角形の合同条件

2つの直角三角形において、次の2つの条件のうちどちらかが成り立つとき、その直角三角形は合同であるといえます。

 

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

 

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斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

 

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直角三角形の証明問題

では、実際に直角三角形の証明問題を解いていきたいと思います。

 

問題① 

下の図において合同な三角形をすべて選び、その合同条件とともに答えなさい。 

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 2つの直角三角形は、次のうちのどちらかが成り立つとき合同であるといえます。

  • 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい 
  • 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

 

〈解答〉 

①と⑤…斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。 

②と④…斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。 

 

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問題②

AB=ACである二等辺三角形ABCの頂点B、Cから辺AC、ABにそれぞれ垂線をおろしたとき、BE=CDであることを証明しなさい。

 

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はじめに直角三角形△CBEと△BCDが合同であることを証明し、合同な図形において対応する辺の長さは等しいことから、BE=CDであることを証明します。

 

〈解答〉

△CBEと△BCDにおいて

二等辺三角形ABCの底角であることから∠CBE=∠BCD……①

共通な辺であることからCB=BC……②

∠CEB=∠BDC=90°……③

①~③より、直角三角形である2つの三角形において、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいことから、△CBE≡△BCD

合同な図形において対応する辺の長さは等しいので、BE=CD(証明終)

  

 

問題③

直角二等辺三角形ABCの∠Bの二等分線が辺ACと交わる点をDとします。

点Dから辺BCにおろした垂線が辺BCと交わる点をEとするとき、AD=ECであることを証明しなさい。 

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〈解答〉

2つの直角三角形△DBAと△DBEにおいて

辺DBは∠Bの二等分線であることから∠DBA=∠DBE……①

辺DBは共通なのでDB=DB……②

①と②より、2つの直角三角形において斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので△DBA≡△DBE

合同な図形において対応する辺の長さは等しいのでAD=ED……④ 

また、△ABCは直角二等辺三角形なので底角は等しく、∠B=∠C=45° 

∠C=45°であることから、△DECにおいて内角の和から∠CDEも45° であることがわかる。

∠C=∠CDE=45°

よって2つの角が等しいので△DECも直角二等辺三角形となり、EC=ED……⑤

④と⑤より、AD=ED=EC

したがって、AD=ECである(証明終)

 

~「図形の性質」~

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