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四角錐の表面積の求め方【公式】

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今回は、四角錐(しかくすい)の表面積の求め方(公式)について書いていきたいと思います。

 

 

四角錐の表面積の求め方【公式】

四角錐の表面積を求めるときには、まずはじめに四角錐の展開図をイメージするといいでしょう。

すると四角錐の表面積は底面である四角形の面積と、側面の三角形の面積(4つ)の和であることがわかります。

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これより、四角錐の表面積は次の公式で求められることがわかります。

四角錐の表面積=底面積+側面積

 

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四角錐の表面積を求める問題

では実際に、四角錐の表面積を求める問題を解いていきたいと思います。

 

問題①

次の四角錐の表面積を求めましょう。

 

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《四角錐の表面積の求め方》

この四角錐の展開図を書いてみると次のようになります。

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展開図からもわかるように、四角錐の表面積=底面積+側面積

ここで、底面積=8×8=64(㎝²)

側面積=(8×12÷2)×4=48×4=192(cm²)であることから

求める四角錐の表面積=64+192=256(cm²)となります。

 

答え 256cm²

 

 

問題②

次の四角錐の表面積を求めましょう。

 

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《四角錐の表面積の求め方》 

この四角錐の底面積=5×5=25(cm²)

側面積=(5×8÷2)×4=80(cm²)

四角錐の表面積=底面積+側面積であることから

求める四角錐の表面積=25+80=105(cm²)となります。

 

答え 105cm²

 

 

問題③

次の四角錐の表面積を求めましょう。

 

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《四角錐の表面積の求め方》 

この四角錐の底面積=4.5×4.5=20.25(cm²)

側面積=(4.5×8÷2)×4=18×4=72(cm²)

四角錐の表面積=底面積+側面積であることから

求める四角錐の表面積=20.25+72=92.25(cm²)となります。

 

答え 92.25(cm²)

 

 

 

 

 

問題④

表面積が189cm²である次の四角錐の側面の三角形の高さを求めましょう。

 

 

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《側面の三角形の高さの求め方》 

この四角錐の表面積は189cm²。

また底面積=7×7=49cm²であることが展開図よりわかります。

 

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ここで、四角錐の表面積=底面積+側面積の公式より

側面積=四角錐の表面積ー底面積=189-49=140(cm²)であることがわかります。

140cm²は側面の4つの三角形の面積の和であることから、1つの三角形の面積は140÷4=35(cm²)

側面の1つの三角形の面積は展開図より、7×□÷2であることから

7×□÷2=35

7×□=70

よって□=70÷7=10(cm)となります。

 

答え 10cm

 

 

問題⑤

次の四角錐の表面積を求めましょう。

 

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《四角錐の表面積の求め方》 

四角錐の表面積=底面積+側面積で求めることができますが

この段階でわかっているのは底面積=6×6=36(cm²)ということだけです。

側面の三角形の面積がわからないと全体の表面積を求めることができないので、側面の三角形の面積を求めなくてはいけません。 

ここで、四角錐の高さに着目します。

四角錐の高さ(4cmの部分)は、底面の正方形の中心と四角錐の頂点を結んでいる線なので、側面の三角形の高さにあたる線と結ぶと、このような三角形を作ることが出来ます。

底面である正方形の中心部分から正方形の1辺へ垂直におろした線の長さは6cmの半分なので3cm。

 

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色のついた三角形を取り出してみました。

この三角形は直角三角形なので

三平方の定理より、□²=3²+4²=9+16=25

□は正の数なので□=5(cm)となります。

 

これより側面積=(6×5÷2)×4=15×4=60(cm²)

よって、四角錐の表面積=底面積+側面積=36+60=96(cm²)となります。

 

答え 96cm²

 

~立体の体積・表面積を求める公式まとめ~

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