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球の体積・表面積の求め方【公式】

体積・表面積 中学数学 空間図形

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今回は、球の体積・表面積の求め方（公式）について書いていきたいと思います。




球の体積の求め方【公式】

半径 r の球の体積を V とすると、球の体積 V は、次の公式で求められます。

V={\displaystyle\frac{4}{3}}\pi{r³}


(例題）半径5cmの球の体積を求めましょう。

求める球の体積を V 、半径を r とするとV={\displaystyle\frac{4}{3}}\pi{r³}より

V＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{5^{3}}＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{125}＝{\displaystyle\frac{500}{3}}\pi


答え　{\displaystyle\frac{500}{3}}\pi cm³



球の表面積の求め方【公式】

半径 r の球の表面積を S とすると、球の表面積 S は次の公式で求められます。

S={4}\pi{r²}


(例題）半径が4cmの球の表面積を求めましょう。

求める球の表面積を S 、半径を r とすると、S={4}\pi{r²}より

S={4}\pi\times{4^{2}}＝{4}\pi\times{16}＝64\pi


答え　64\pi cm²



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球の体積・球の表面積を求める問題

では実際に球の体積・球の表面積を求める問題を解いていきたいと思います。

問題①

半径が12cmの球の体積と表面積を求めましょう。

《球の体積の求め方》

求める球の体積を V 、半径を r とするとV={\displaystyle\frac{4}{3}}\pi{r³}より

V＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{12^{3}}＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{1728}＝2304\pi


答え　2304\pi cm³


《球の表面積の求め方》

求める球の表面積を S 、半径を r とすると、S={4}\pi{r²}より

S={4}\pi\times{12^{2}}＝{4}\pi\times{144}＝576\pi


答え　576\pi cm²


問題②

直径が6cmの球の体積と表面積を求めましょう。

《球の体積の求め方》

球の直径が6cmなので半径は3cm。

求める球の体積を V 、半径を r とするとV={\displaystyle\frac{4}{3}}\pi{r³}より

V＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{3^{3}}＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{27}＝36\pi


答え　36\pi cm³


《球の表面積の求め方》

求める球の表面積を S 、半径を r とすると、S={4}\pi{r²}より

S={4}\pi\times{3^{2}}＝{4}\pi\times{9}＝36\pi


答え　36\pi cm²


問題③

直径が４cmである球の半球の体積と表面積を求めましょう。

《半球の体積の求め方》

これまで通りの計算方法で球の体積を求め、その体積に{\displaystyle\frac{1}{2}}をかけたものが半球の体積となります。

半球の体積を V 、半径を r とすると

V={\displaystyle\frac{4}{3}}\pi{r³}\times{\displaystyle\frac{1}{2}}＝{\displaystyle\frac{4}{3}}\pi\times{2^{3}\times{\displaystyle\frac{1}{2}}}＝{\displaystyle\frac{16}{3}\pi}


答え　{\displaystyle\frac{16}{3}\pi} cm³


《半球の表面積の求め方》

半球の表面積S＝球の表面積の半分＋半球の切り口である直径４cm（半径２cm）の円の面積であることから

S={4}\pi\times{2^{2}}\times{\displaystyle\frac{1}{2}}＋{2^{2}\pi}＝{8\pi＋4\pi}＝12\pi


答え　12\pi cm²

～立体の体積・表面積を求める公式まとめ～
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