因数分解の公式と問題練習 - 小学生・中学生・高校生の勉強

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今回は因数分解で使う公式と問題練習をしていきたいと思います。

因数分解の４つの公式

以前勉強した乗法公式を反対にすると因数分解の公式になります。

$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

はじめは間違えやすいので、公式を確認しながら問題練習をするといいですね。
繰り返し問題を解いていくうちにこれらの公式は自然と覚えられますので、心配な方は問題練習に時間をかけるといいでしょう。

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共通因数のくくり出し

因数分解をするときには、まずはじめに共通する因数がないか確認します。
共通な因数があった場合にはその因数をかっこの外にくくり出し、その上でさらに因数分解できる場合は続けます。

【例】　 $2a^{2}+4ab+2b^{2}=2(a^{2}+2ab+b^{2})=2(a+b)^{2}$

この場合は「２」がすべてに共通する因数となっているので、まず「２」をかっこの外にくくり出します。
これ以上因数分解ができない場合はここで終わりますが、この場合は因数分解できるので上のようになります。

因数分解の公式を使った問題練習

では実際に因数分解の公式を使い、問題練習をしていきたいと思います。

問題①

次の式を因数分解しましょう。
（１） $x^{2}+5x$
（２） $2xy+8y$
（３） $a^{2}b-ab^{2}$
（４） $6a^{2}b^{2}+3ab$
（５） $5x^{2}y+20xy^{2}-15xy$
（６） $-16abc+4ab-8ca$

問題①は、共通因数のくくり出しの問題です。
多項式のそれぞれの項に共通する因数がある場合は、かっこ（　　　）の外にくくり出します。
共通因数をすべてくくり出した後、かっこの中を因数分解できるときにはさらに因数分解をします。

（１） $x^{2}+5x$
$=x(x+5)$

答え　 $x(x+5)$

（２） $2xy+8y$
$=2y(x+4)$

答え　 $2y(x+4)$

（３） $a^{2}b-ab^{2}$
$=ab(a-b)$

答え　 $ab(a-b)$

（４） $6a^{2}b^{2}+3ab$
$=3ab(2ab+1)$

答え　 $3ab(2ab+1)$

（５） $5x^{2}y+20xy^{2}-15xy$
$=5xy(x+4y-3)$

答え　 $5xy(x+4y-3)$

（６） $-16abc+4ab-8ca$
$=-4a(4bc-b+2c)$

答え　 $-4a(4bc-b+2c)$

問題②

次の式を因数分解しましょう。
（１） $x^{2}+5x+6$
（２） $x^{2}+5x+4$
（３） $x^{2}-6x-16$
（４） $x^{2}+3x-28$
（５） $a^{2}-11a+30$
（６） $a^{2}-2a-48$

問題②は公式 $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ を使った因数分解です。

（１）足して5、掛けて6になる２つの数を探します。
2と3であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}+5x+6$
$=(x+2)(x+3)$

答え　 $(x+2)(x+3)$

（２）足して5、掛けて4になる２つの数を探します。
1と4であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}+5x+4$
$=(x+1)(x+4)$

答え　 $(x+1)(x+4)$

（３）足してー6、掛けてー16になる２つの数を探します。
ー8と2であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}-6x-16$
$=(x+2)(x-8)$

答え　 $(x+2)(x-8)$
　

（４）足して3、掛けてー28になる２つの数を探します。
ー4と7であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}+3x-28$
$=(x-4)(x+7)$

答え　 $(x-4)(x+7)$

（５）足してー11、掛けて30になる２つの数を探します。
ー5とー6であることから、次のように因数分解できます。
$a^{2}-11a+30$
$=(a-5)(a-6)$

答え　 $(a-5)(a-6)$

（６）足してー2、掛けてー48になる２つの数を探します。
ー8と6であることから、次のように因数分解できます。
$a^{2}-2a-48$
$=(a+6)(a-8)$

答え　 $(a+6)(a-8)$

問題③

次の式を因数分解しましょう。
（１） $x^{2}-9$
（２） $x^{2}-25$
（３） $a^{2}-1$
（４） $4a^{2}-25$
（５） $16-x^{2}$
（６） $1-36x^{2}$

問題③は公式 $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ を使った因数分解です。
この公式のaとbにあたる部分がそれぞれ何か探します。

（１）公式のaにあたるのは $x$ 、bにあたるのは3であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}-9=x^{2}-3^{2}=(x+3)(x-3)$

答え　 $(x+3)(x-3)$

（２）公式のaにあたるのは $x$ 、bにあたるのは5であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}-25=x^{2}-5^{2}=(x+5)(x-5)$

答え　 $(x+5)(x-5)$

（３）公式のaにあたるのは $a$ 、bにあたるのは1であることから、次のように因数分解できます。
$a^{2}-1=a^{2}-1^{2}=(a+1)(a-1)$

答え　 $(a+1)(a-1)$
　

（４）公式のaにあたるのは $2a$ 、bにあたるのは $5$ であることから、次のように因数分解できます。
$4a^{2}-25=(2a)^{2}-5^{2}=(2a+5)(2a-5)$

答え　 $(2a+5)(2a-5)$

（５）公式のaにあたるのは $4$ 、bにあたるのは $x$ であることから、次のように因数分解できます。
$16-x^{2}=4^{2}-x^{2}=(4+x)(4-x)$

答え　 $(4+x)(4-x)$

（６）公式のaにあたるのは $1$ 、bにあたるのは $6x$ であることから、次のように因数分解できます。
$1-36x^{2}=1^{2}-(6x)^{2}=(1+6x)(1-6x)$

答え　 $(1+6x)(1-6x)$

問題④

次の式を因数分解しましょう。
（１） $x^{2}+2x+1$
（２） $x^{2}+6x+9$
（３） $4x^{2}+20x+25$
（４） $9a^{2}+6a+1$
（５） $16x^{2}+8xy+y^{2}$
（６） $25a^{2}+30ab+9b^{2}$

問題④は公式 $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ を使った因数分解です。
この公式のaとbにあたる部分がそれぞれ何か探します。

（１）公式のaにあたるのは $x$ 、bにあたるのは $1$ であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}+2x+1=x^{2}+2×x×1+1^{2}=(x+1)^{2}$

答え　 $(x+1)^{2}$

（２）公式のaにあたるのは $x$ 、bにあたるのは $3$ であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}+6x+9=x^{2}+2×x×3+3^{2}=(x+3)^{2}$

答え　 $(x+3)^{2}$

（３）公式のaにあたるのは $2x$ 、bにあたるのは $5$ であることから、次のように因数分解できます。
$4x^{2}+20x+25=(2x)^{2}+2×2x×5+5^{2}=(2x+5)^{2}$

答え　 $(2x+5)^{2}$

（４）公式のaにあたるのは $3a$ 、bにあたるのは $1$ であることから、次のように因数分解できます。
$9a^{2}+6a+1=(3a)^{2}+2×3a×1+1^{2}=(3a+1)^{2}$

答え　 $(3a+1)^{2}$

（５）公式のaにあたるのは $4x$ 、bにあたるのは $y$ であることから、次のように因数分解できます。
$16x^{2}+8xy+y^{2}=(4x)^{2}+2×4x×y+y^{2}=(4x+y)^{2}$

答え　 $(4x+y)^{2}$

（６）公式のaにあたるのは $5a$ 、bにあたるのは $3b$ であることから、次のように因数分解できます。
$25a^{2}+30ab+9b^{2}=(5a)^{2}+2×5a×3b+(3b)^{2}=(5a+3b)^{2}$

答え　 $(5a+3b)^{2}$

問題⑤

次の式を因数分解しましょう。
（１） $x^{2}-4x+4$
（２） $y^{2}-14y+49$
（３） $9y^{2}-6y+1$
（４） $16a^{2}-40ab+25b^{2}$
（５） $4x^{2}-4xy+y^{2}$
（６） $25a^{2}-60ab+36b^{2}$

問題⑤は公式 $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ を使った因数分解です。
この公式のaとbにあたる部分がそれぞれ何か探します。

（１）公式のaにあたるのは $x$ 、bにあたるのは $2$ であることから、次のように因数分解できます。
$x^{2}-4x+4=x^{2}-2×x×2+2^{2}=(x-2)^{2}$

答え　 $(x-2)^{2}$

（２）公式のaにあたるのは $y$ 、bにあたるのは $7$ であることから、次のように因数分解できます。
$y^{2}-14y+49=y^{2}-2×y×7+7^{2}=(y-7)^{2}$

答え　 $(y-7)^{2}$

（３）公式のaにあたるのは $3y$ 、bにあたるのは $1$ であることから、次のように因数分解できます。
$9y^{2}-6y+1=(3y)^{2}-2×3y×1+1^{2}=(3y-1)^{2}$

答え　 $(3y-1)^{2}$

（４）公式のaにあたるのは $4a$ 、bにあたるのは $5b$ であることから、次のように因数分解できます。
$16a^{2}-40ab+25b^{2}=(4a)^{2}-2×4a×5b+(5b)^{2}=(4a-5b)^{2}$

答え　 $(4a-5b)^{2}$

（５）公式のaにあたるのは $2x$ 、bにあたるのは $y$ であることから、次のように因数分解できます。
$4x^{2}-4xy+y^{2}=(2x)^{2}-2×2x×y+y^{2}=(2x-y)^{2}$

答え　 $(2x-y)^{2}$

（６）公式のaにあたるのは $5a$ 、bにあたるのは $6b$ であることから、次のように因数分解できます。
$25a^{2}-60ab+36b^{2}=(5a)^{2}-2×5a×6b+(6b)^{2}=(5a-6b)^{2}$

答え　 $(5a-6b)^{2}$

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