乗法公式と問題練習 - 小学生・中学生・高校生の勉強

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今回は式の展開に使う、乗法公式の問題練習をしていきたいと思います。

式の展開で使う４つの乗法公式

中学で使う乗法公式は次の４つです。

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

式の展開をするときには乗法公式を用いると計算の過程が減るので時間短縮に繋がります。
４つの乗法公式を覚えるのは大変そうですが、問題練習を何度も繰り返すうちに自然と身についていくので安心してくださいね。

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乗法公式を忘れたときは？

テストの際に乗法公式を忘れてしまい困ったときには、基本に戻り分配法則を使って式の展開をすることもできます。
乗法公式を使うより時間は少しかかりますが、思い出せずに悩んでいるよりは時間を有効に使えるでしょう。

$(x+a)(x+b)$
$=x^{2}+bx+ax+ab$
$=x^{2}+(a+b)x+ab$

$(a+b)(a-b)$
$=a^{2}-ab+ab-b^{2}$
$=a^{2}-b^{2}$

$(a+b)^{2}$
$=(a+b)(a+b)$
$=a^{2}+ab+ba+b^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}$
$=(a-b)(a-b)$
$=a^{2}-ab-ba+b^{2}$
$=a^{2}-2ab+b^{2}$

乗法公式の利用（置き換えによる式の展開）

一見、乗法公式が使えなさそうな式の展開においても、式を文字に置き換えてみると乗法公式が使えることがあります。

次の式を展開しましょう。
$(a+3b+2)(a+3b-2)$

$a+3b=Ｘ$ と置き換えます。
$Ｘ$ に置き換えて式の展開をしてから、もとの $a+3b$ に戻し計算を続けます。

$(a+3b+2)(a+3b-2)$
$=(Ｘ+2)(Ｘ-2)$
$=Ｘ^{2}-2^{2}$
$=(a+3b)^{2}-4$
$=a^{2}+2×a×3b+(3b)^{2}-4$
$=a^{2}+6ab+9b^{2}-4$

乗法公式を使った計算問題

では実際に乗法公式を使い、計算問題を解いていきたいと思います。

問題①

次の式を展開しましょう。
（１） $(x+2)(x+3)$
（２） $(x+1)(x+8)$
（３） $(x+5)(x-2)$
（４） $(x-6)(x+4)$ 　
（５） $(x-3)(x-5)$ 　
（６） $(y-8)(y-2)$

問題①は、乗法公式 $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$ を使った計算問題です。
公式の $a$ および $b$ の部分は負の数になることもありますので、計算するときには符号に気をつけましょう。

（１） $(x+2)(x+3)$
$=x^{2}+(2+3)x+2×3$
$=x^{2}+5x+6$

答え　 $x^{2}+5x+6$ 　　

（２） $(x+1)(x+8)$
$=x^{2}+(1+8)x+1×8$
$=x^{2}+9x+8$

答え　 $x^{2}+9x+8$

（３） $(x+5)(x-2)$
$=x^{2}+(5-2)x+5×(-2)$
$=x^{2}+3x-10$

答え　 $x^{2}+3x-10$

（４） $(x-6)(x+4)$
$=x^{2}+(-6+4)x+(-6)×4$
$=x^{2}-2x-24$

答え　 $x^{2}-2x-24$ 　

（５） $(x-3)(x-5)$
$=x^{2}+(-3-5)x+(-3)×(-5)$
$=x^{2}-8x+15$

答え　 $x^{2}-8x+15$ 　

（６）文字が $x$ から $y$ に変わっても計算方法は同じです。
$(y-8)(y-2)$
$=y^{2}+(-8-2)y+(-8)×(-2)$
$=y^{2}-10y+16$

答え　 $y^{2}-10y+16$

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問題②

次の式を展開しましょう。
（１） $(x+4)(x-4)$
（２） $(y-5)(y+5)$
（３） $(2y+1)(2y-1)$
（４） $(3x-8y)(3x+8y)$
（５） $(x+\displaystyle\frac{1}{3})(x-\displaystyle\frac{1}{3})$

問題②は、乗法公式 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ を使った計算問題です。

（１） $(x+4)(x-4)$
$=x^{2}-4^{2}$
$=x^{2}-16$

答え　 $x^{2}-16$

（２） $(y-5)(y+5)$
$=y^{2}-5^{2}$
$=y^{2}-25$

答え　 $y^{2}-25$

（３） $(2y+1)(2y-1)$
$=(2y)^{2}-1^{2}$
$=4y^{2}-1$

答え　 $4y^{2}-1$

（４） $(3x-8y)(3x+8y)$
$=(3x)^{2}-(8y)^{2}$
$=9x^{2}-64y^{2}$

答え　 $9x^{2}-64y^{2}$

（５） $(x+\displaystyle\frac{1}{3})(x-\displaystyle\frac{1}{3})$
$=x^{2}-( {\frac{1}{3}} )^{2}$
$=x^{2}-{\displaystyle\frac{1}{9}}$

答え　 $x^{2}-{\displaystyle\frac{1}{9}}$

問題③

次の式を展開しましょう。
（１） $(x+4)^{2}$
（２） $(a+2b)^{2}$
（３） $(3x+1)^{2}$
（４） $(-y+5)^{2}$
（５） $(-4x+7y)^{2}$

問題③は、乗法公式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ を使った計算問題です。

（１） $(x+4)^{2}$
$=x^{2}+2×x×4+4^{2}$
$=x^{2}+8x+16$

答え　 $x^{2}+8x+16$

（２） $(a+2b)^{2}$
$=a^{2}+2×a×2b+(2b)^{2}$
$=a^{2}+4ab+4b^{2}$

答え　 $a^{2}+4ab+4b^{2}$

（３） $(3x+1)^{2}$
$=(3x)^{2}+2×3x×1+1^{2}$
$=9x^{2}+6x+1$

答え　 $9x^{2}+6x+1$

（４） $(-y+5)^{2}$
$=(-y)^{2}+2×(-y)×5+5^{2}$
$=y^{2}-10y+25$

答え　 $y^{2}-10y+25$

（５） $(-4x+7y)^{2}$
$=(-4x)^{2}+2×(-4x)×(7y)+(7y)^{2}$
$=16x^{2}-56xy+49y^{2}$

答え　 $16x^{2}-56xy+49y^{2}$

問題④

次の式を展開しましょう。
（１） $(a-6)^{2}$
（２） $(8a-3)^{2}$
（３） $(6x-y)^{2}$
（４） $(5x-{\displaystyle\frac{2}{3}})^{2}$
（５） $({\displaystyle\frac{3}{4}}x-{\displaystyle\frac{1}{2}})^{2}$

問題④は、乗法公式 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ を使った計算問題です。

（１） $(a-6)^{2}$
$=a^{2}-2×a×6+6^{2}$
$=a^{2}-12a+36$

答え　 $a^{2}-12a+36$

（２） $(8a-3)^{2}$
$=(8a)^{2}-2×8a×3+3^{2}$
$=64a^{2}-48a+9$

答え　 $64a^{2}-48a+9$

（３） $(6x-y)^{2}$
$=(6x)^{2}-2×6x×y+y^{2}$
$=36x^{2}-12xy+y^{2}$

答え　 $36x^{2}-12xy+y^{2}$

（４） $(5x-{\displaystyle\frac{2}{3}})^{2}$
$=(5x)^{2}-2×5x×{\displaystyle\frac{2}{3}}+({\displaystyle\frac{2}{3}})^{2}$
$=25x^{2}-{\displaystyle\frac{20}{3}}x+{\displaystyle\frac{4}{9}}$

答え　 $25x^{2}-{\displaystyle\frac{20}{3}}x+{\displaystyle\frac{4}{9}}$

（５） $({\displaystyle\frac{3}{4}}x-{\displaystyle\frac{1}{2}})^{2}$
$=({\displaystyle\frac{3}{4}}x)^{2}-2×{\displaystyle\frac{3}{4}}x×{\displaystyle\frac{1}{2}}+({\displaystyle\frac{1}{2}})^{2}$
$={\displaystyle\frac{9}{16}}x^{2}-{\displaystyle\frac{3}{4}}x+{\displaystyle\frac{1}{4}}$

答え　 ${\displaystyle\frac{9}{16}}x^{2}-{\displaystyle\frac{3}{4}}x+{\displaystyle\frac{1}{4}}$

問題⑤

次の式を展開しましょう。
（１） $(a-b+3)(a-b-1)$
（２） $(3x+y+z)(3x+y-5z)$
（３） $(x-2y+4)(x+y+4)$
（４） $(2a+b-c)^{2}$

問題⑤は置き換えによる式の展開です。
式を文字に置き換え、乗法公式を利用して解きます。

（１） $a-b=Ｘ$ と置き換えます。
$Ｘ$ に置き換えて式の展開をしてから、もとの $a-b$ に戻し計算を続けます。
$(a-b+3)(a-b-1)$
$=(Ｘ+3)(Ｘ-1)$
$=Ｘ^{2}+(3-1)Ｘ+3×(-1)$
$=Ｘ^{2}+2Ｘ-3$
$=(a-b)^{2}+2(a-b)-3$
$=a^{2}-2ab+b^{2}+2a-2b-3$

答え　 $a^{2}-2ab+b^{2}+2a-2b-3$

（２） $3x+y=Ｘ$ と置き換えます。
$Ｘ$ に置き換えて式の展開をしてから、もとの $3x+y$ に戻し計算を続けます。
$(3x+y+z)(3x+y-5z)$
$=(Ｘ+z)(Ｘ-5z)$
$=Ｘ^{2}+(z-5z)Ｘ+z×(-5z)$
$=Ｘ^{2}-4zＸ-5z^{2}$
$=(3x+y)^{2}-4z(3x+y)-5z^{2}$
$=9x^{2}＋6xy+y^{2}-12zx-4yz-5z^{2}$

答え　 $9x^{2}＋6xy+y^{2}-12zx-4yz-5z^{2}$

（３） $x+4=Ｘ$ と置き換えます。
$Ｘ$ に置き換えて式の展開をしてから、もとの $x+4$ に戻し計算を続けます。
$(x-2y+4)(x+y+4)$
$=(x+4-2y)(x+4+y)$
$=(Ｘ-2y)(Ｘ+y)$
$=Ｘ^{2}+(-2y+y)Ｘ+(-2y)×y$
$=Ｘ^{2}-yＸ-2y^{2}$
$=(x+4)^{2}-(x+4)y-2y^{2}$
$=x^{2}+8x+16-xy-4y-2y^{2}$

答え　 $x^{2}+8x+16-xy-4y-2y^{2}$

（４） $b-c=Ｘ$ と置き換えます。
$Ｘ$ に置き換えて式の展開をしてから、もとの $b-c$ に戻し計算を続けます。
$(2a+b-c)^{2}$
$=(2a+Ｘ)^{2}$
$=(2a)^{2}+2×2a×Ｘ+Ｘ^{2}$
$=4a^{2}+4a(b-c)+(b-c)^{2}$
$=4a^{2}+4ab-4ca+b^{2}-2bc+c^{2}$
$=4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab-2bc-4ca$

答え　 $4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab-2bc-4ca$

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