比を簡単にする方法

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今回は小学６年生で習う「比とその利用」について勉強します。
比の性質を使い、整数だけでなく小数や分数の比を簡単にする方法について学んでいきたいと思います。

比を簡単にする方法
比を簡単にする問題

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Aくんがえんぴつを３本、Bくんがえんぴつを６本持っていたとき、
AくんとBくんの持っているえんぴつの本数を比で表すと３：６
このとき「３：６」の３を前項（ぜんこう）、６を後項（こうこう）とよびます。

ここで比には、前項と後項に０でない同じ数字をかけても、また前項と後項を０でない同じ数字で割っても、その比は等しいという性質があります。
この性質を使うことで「３：６」という比をさらに小さくすることができるんですね。
３も６も「３」で割れるので、前項の「３」と後項の「６」を「３」で割ります。
すると３：６＝１：２　となります。
このようにして、比をできるだけ小さな整数の比にすること、このことを比を簡単にするといいます。

比を簡単にする問題

比を簡単にする問題には整数の比だけでなく、小数や分数の比を簡単にする問題もあります。
実際に問題を解きながら、比を簡単にする練習をしていきましょう。

問題①

次の比を簡単にしましょう。
（１）24：8　（２）35：63　（３）100：150

（１）24：8　をできるだけ簡単な整数の比にする問題です。
「24」も「８」も割ることができる数というと、２,４,８です。
ここで試しに「２」で割ってみると　24：8＝12：4　
「４」で割ってみると　24：8＝6：2
「８」で割ってみると　24：8＝3：1　となります。
このように２,４,８のどの数字でも比を小さくすることはできますが、８以外の「２」と「４」で割った場合にはこれで終わりではなく、ここからまだ比を小さくできるのでもう一度前項と後項を同じ数字で割る必要があります。
最終的にたどり着く答えは「３：１」。
最大公約数で割ると、何度も割らずにすみます。

答え　３：１

（２）35：63　をできるだけ簡単な整数の比にします。
前項と後項を７で割り
35：63＝5：9

答え　5：9

（３）100：150　をできるだけ簡単な整数の比にします。
前項と後項を50で割ると100：150＝2：3となりますが、数が大きい場合は一度に小さな比にするのが難しいこともあります。
そのような場合は無理せず、次のように何度かこの作業をくり返しながら小さな比にしていきましょう。
100：150＝10：15＝2：3

答え　２：３

問題②

次の比を簡単にしましょう。
（１）0.9：7.2　（２）3.15：3.5　（３）0.225：0.05

先ほどの問題①では、前項と後項を同じ数で割ることで簡単な比にしていきました。
比の性質にはこれ以外に、前項と後項に同じ数をかけてもその比は等しいという性質があります。
問題②では小数の比が出てきますので、前項と後項に同じ数をかけて小数の比から整数の比にまず変えましょう。
そのあとに、先ほどと同じような方法で比を簡単にしていきます。

（１）0.9：7.2　をできるだけ簡単な整数の比にする問題です。
小数の比から整数の比にするため、前項と後項をそれぞれ10倍します。
その後、前項と後項を9で割り、簡単な整数の比にします。
0.9：7.2＝9：72＝1：8

答え　1：8

（２）3.15：3.5　をできるだけ簡単な整数の比にする問題です。
小数の比から整数の比にするため、前項と後項をそれぞれ100倍します。
その後、前項と後項を同じ数で割り、簡単な整数の比にします。
3.15：3.5＝315：350＝63：70＝9：10

答え　9：10

（３）0.225：0.05　をできるだけ簡単な整数の比にする問題です。
小数の比から整数の比にするため、前項と後項をそれぞれ1000倍します。
（10倍では「2.25：0.5」、100倍では「22.5：5」となり整数の比にはなりません。）
その後、前項と後項を同じ数で割り、簡単な整数の比にします。
0.225：0.05＝225：50＝45：10＝9：2

答え　9：2

問題③

次の比を簡単にしましょう。
（１） ${\displaystyle\frac{3}{4}}$ ： ${\displaystyle\frac{1}{3}}$ 　（２） ${\displaystyle\frac{2}{7}}$ ： ${\displaystyle\frac{4}{5}}$

問題③は分数の比です。
問題①と問題②の解き方をヒントに、前項と後項に０でない同じ数字をかけても、また前項と後項を０でない同じ数字で割っても、その比は等しいという比の性質を使いながら解いていきましょう。

（１） ${\displaystyle\frac{3}{4}}$ ： ${\displaystyle\frac{1}{3}}$ 　をできるだけ簡単な整数の比にする問題です。

分母の3と4の最小公倍数である12を前項と後項にかけ、簡単な整数の比にします。

${\displaystyle\frac{3}{4}}$ ： ${\displaystyle\frac{1}{3}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{3}{4}}×12$ ： ${\displaystyle\frac{1}{3}}×12$ ＝ $9$ ： $4$

答え　9：4

（２） ${\displaystyle\frac{2}{7}}$ ： ${\displaystyle\frac{4}{5}}$ 　をできるだけ簡単な整数の比にする問題です。

分母の5と7の最小公倍数である35を前項と後項にかけ、簡単な整数の比にします。

${\displaystyle\frac{2}{7}}$ ： ${\displaystyle\frac{4}{5}}$ ＝ ${\displaystyle\frac{2}{7}}×35$ ： ${\displaystyle\frac{4}{5}}×35$ ＝ $10$ ： $28$ ＝ $5$ ： $14$