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【仕事算】練習問題と解き方

算数 文章問題

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今回は中学受験をはじめ、算数の文章問題でよく出る仕事算について書いていきたいと思います。



仕事算って？

ある仕事を複数の人（人以外の場合もあります）で行った場合、仕事が終わるまでにどれだけの日数（時間）を必要とするのか求める問題を仕事算といいます。

仕事算の練習問題

では実際に、仕事算を使った練習問題を解いてみたいと思います。

練習問題（１）

ある仕事をするのにAだけでおこなうと20日かかり、Bだけで行うと30日かかります。
この仕事をAとBの２人で行った場合、はじめてから終了するまでにどれだけの日数がかかるでしょう。

《解き方》

仕事全体を１として考えます。
この仕事をA１人が行った場合、１日に出来る仕事の量は{\frac{1}{20}}。
また同じ仕事をB１人が行った場合、１日に出来る仕事の量は{\frac{1}{30}}。
この仕事をAとBが２人で行った場合、１日に出来る仕事の量は次のようになります。

{\displaystyle\frac{1}{20}}＋{\displaystyle\frac{1}{30}}＝{\displaystyle\frac{1}{12}} ……①

仕事全体の量１を、①で割ると
１÷{\displaystyle\frac{1}{12}}＝12


答え　12日


練習問題（２）

ある水そういっぱいに水を入れるのにAのポンプだけ使用すると24分、Bのポンプだけ使用すると32分かかります。
AとB両方のポンプを使った場合、何分で水そうの水はいっぱいになりますか。

《解き方》

満水になった状態を１としたとき
Aのポンプを使い1分間に入る水の量は{\frac{1}{24}}。
Bのポンプを使い1分間に入る水の量は{\frac{1}{32}}。
AとB２つのポンプを同時に使って水を入れた場合、1分間に入る水の量は次のとおりになります。

{\displaystyle\frac{1}{24}}＋{\displaystyle\frac{1}{32}}＝{\displaystyle\frac{7}{96}}

よって、1÷{\displaystyle\frac{7}{96}}＝13{\displaystyle\frac{5}{7}}


答え　13{\displaystyle\frac{5}{7}}分



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練習問題（３）

AとBの2人で行うと10日かかる仕事があります。
この仕事をAが１人だけで行うと14日かかります。
同じ仕事をBが1人だけで行った場合、何日かかりますか。

《解き方》

仕事全体を1として考えます。
AとBが2人いっしょに仕事をしたとき、１日に出来る仕事の量は
１÷10＝{\frac{1}{10}}
この仕事をAが１人で行ったとき、１日に出来る仕事の量は
１÷14＝{\frac{1}{14}}
このことから、Bが１人でこの仕事を行った場合、１日に出来る仕事の量は
{\displaystyle\frac{1}{10}}－{\displaystyle\frac{1}{14}}＝{\displaystyle\frac{1}{35}}
よって、この仕事をBが１人で行った場合にかかる日数は次のとおり。
１÷{\displaystyle\frac{1}{35}}＝35


答え　35日



練習問題（４）

Aが１人で行うと30日、Bが1人で行うと18日かかる仕事があります。
この仕事をAとBの2人で一緒に行っていましたが、途中でAが2日休みました。
仕事をはじめてから全て終わらせるまでに何日かかりますか。

《解き方》

仕事全体を１として考えると、それぞれが１人で仕事を行った場合、１日に出来る仕事量はAが{\frac{1}{30}}、Bは{\frac{1}{18}}となります。
AとBの２人が一緒に仕事をしている日の１日の仕事量は、
{\displaystyle\frac{1}{30}}＋{\displaystyle\frac{1}{18}}＝{\displaystyle\frac{4}{45}}……①

Aが休んだ２日間の仕事は、Bが１人で行っていたためその仕事量は
{\displaystyle\frac{1}{18}}×２＝{\displaystyle\frac{1}{9}}となります。

ここで全体の仕事量１から、Aが休んだ２日間の仕事量を引くと、AとBの２人が一緒に仕事をした全体の仕事量が出ます。
１－{\displaystyle\frac{1}{9}}＝{\displaystyle\frac{8}{9}}

この数字をAとBの２人が一緒に仕事をしている日の１日の仕事量（①）で割ると、AとBが２人一緒に仕事をした日数になります。
{\displaystyle\frac{8}{9}}÷{\displaystyle\frac{4}{45}}＝10

よって、仕事をはじめてから全ての仕事を終えるまでにかかった日数は、Aが休んだ２日間もあわせて
２＋10＝12 となります。

答え　12日


練習問題（５）

同じ機械３台で行うと15日かかる仕事を、はじめの6日間は2台で行い、残りの仕事を3台で行うと仕事をはじめてから全ての仕事を終えるまでに何日かかりますか。

《解き方 その①》

同じ機械３台で行うと15日かかる仕事 ⇒ １台で行った場合には３×15＝45（日）かかる仕事なので
１台が１日に出来る仕事量は、全体の仕事量を１とすると

{\displaystyle\frac{1}{45}}となる。

はじめの６日間は２台で行ったので
{\displaystyle\frac{1}{45}}×６（日）×２（台）＝{\displaystyle\frac{4}{15}}

ここで全体の仕事量から２台で行った仕事量を引くと、残りの仕事量が出ます。
１－{\displaystyle\frac{4}{15}}＝{\displaystyle\frac{11}{15}} ……①

①を３台で１日に行う仕事量（{\displaystyle\frac{1}{45}}×３＝{\displaystyle\frac{1}{15}}）で割ると

{\displaystyle\frac{11}{15}}÷{\displaystyle\frac{1}{15}}＝11

よって、仕事をはじめてから全ての仕事を終わらせるのにかかる日数は
６＋11＝17


答え　17日


《解き方 その②》

全体の仕事量を３（台）×15（日）＝45 とすると
はじめの６日間２台で行った仕事の量は、６×２＝12
残りの仕事量は、45－12＝33
この仕事を３台の機械で行うので、残りの仕事をするのにかかる日数は33÷3＝11 となります。
よって、仕事をはじめてから全ての仕事を終わらせるまでにかかる日数は
６＋11＝17(日）となります。


答え　17日


まとめ

今回は小学校の算数の文章問題でよく見かける仕事算について書きました。
家庭での学習の際に使用していただけたらと思います。

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